電気双極子もどき

ここでは教科書図1.20の図を正負等量の点電荷で表してみる。つまり(0,a,0)の位置と(0,-a,0)の位置にQ1と-Q1という正負等量の点電荷があるとして、その周りの電界、および等電位面を示してみる。

等電位線

本来電気双極子の式は(1.43)であるが、この元になっている式を直角直交座標系でそのまま表すと下の式のようになる。

a = 
        0.1;   
dr = 
        a/3;    
ep0 = 1;   
Q1 = 
        1;   

Clear[v];

    
v[x_, y_] := 
        Q1/(4 Pi ep0)*(1/Sqrt[x^2 + (y - a)^2] - 
              1/Sqrt[x^2 + (y + a)^2]);

次の等電位線の方向を探る。

caltheta[x_, y_] := 
      Module[{theta, ret = 0}, 
vst = 
          v[x, y]; 
For[theta = 0, theta > -Pi, 
          theta -= Pi/360, 
xnew = 
            x + dr*Cos[theta]; 
ynew = 
            y + dr*Sin[theta]; 
If[
            Abs[(v[xnew, ynew] - vst)/vst] < 
              0.0051, Break[];];
]; 

 Return[theta];
]

範囲をはみ出したところで計算をストップする。

limit[x_, y_] := 
      Module[{}, 
Return[(x > 1) || (x < 
                  0) || (y > 1) || (y < 
                  0)];
]

計算は1/4面だけやって後は対象性を利用する。

cal[] := 
      Module[{theta}, 
lines = {Dashing[{0.01, 
                0.01}]}; 
For[yst = 1, yst > 1/10, 
          yst -= 2/10, 
Print[yst]; 
x = 
            0; 
y = 
            yst; 
ts1 = {{x, 
                y}}; 
ts2 = {{-x, 
                y}}; 
ts3 = {{x, -y}}; 
ts4 = {{-x, -y}}; 
i = 
            0; 
While[
            Not[limit[x, y]] && i++ < 200, 
theta = 
              caltheta[x, y]; 

x = 
              x + dr*Cos[theta]; 
y = 
              y + dr*Sin[theta]; 
ts1 = 
              Append[ts1, {x, y}]; 
ts2 = 
              Append[ts2, {-x, y}]; 
ts3 = 
              Append[ts3, {x, -y}]; 
ts4 = 
              Append[ts4, {-x, -y}];
]; 
lines = 
            Append[lines, {Line[ts1], Line[ts2], Line[ts3], 
                Line[ts4]}];
]; 
Show[
          Graphics[lines], AspectRatio -> 1, 
          PlotRange -> {{-1.1, 1.1}, {-1.1, 
                1.1}}];
]

gra1 = cal[]

電界の計算

電界についても同じで、電気双極子による電界は本来は(1.46a), (1.46b)式のように与えられるが、これを直角直交座標系で直接表示してしまう。

Ex[x_, y_] := 
        Q1/(4 Pi ep0)*(
x/(x^2 + (y - 
                            a)^2)^(3/2) - 
              x/(x^2 + (y + a)^2)^(3/
                      2));
Ey[x_, y_] := 
        Q1/(4 Pi ep0)*(
(y - 
                    a)/(x^2 + (y - a)^2)^(3/2) - (y + 
                    a)/(x^2 + (y + a)^2)^(3/
                      2));

電界の次の方向を求める。

\(\(calx[x_, y_] := 
        Module[{length, ret = 0}, 
length = 
            Sqrt[Ex[x, y]^2 + Ey[x, y]^2]; 
	
          ret = x + Ex[x, y]/length*dr; 
Return[
            ret];
];\)\)
\(caly[x_, y_] := 
      Module[{length, ret = 0}, 
length = 
          Sqrt[Ex[x, y]^2 + Ey[x, y]^2]; 
	
        ret = y + Ey[x, y]/length*dr; 
Return[
          ret];
]\)

同様に1/4面のみ計算。スタートは点電荷の周りから行う。

cal2[] := 
      Module[{}, 
lines2 = {}; 
For[
          theta = -75/180*Pi, theta < Pi/2, 
          theta += 15/180*Pi, 
x = 
            dr*Cos[theta]; 
y = 
            a + dr*Sin[theta]; 
ts1 = {{x, 
                y}}; 
ts2 = {{-x, 
                y}}; 
ts3 = {{x, -y}}; 
ts4 = {{-x, -y}}; 
While[
            Not[limit[x, y]], 
x = 
              calx[x, y]; 
y = 
              caly[x, y]; 
ts1 = 
              Append[ts1, {x, y}]; 
ts2 = 
              Append[ts2, {-x, y}]; 
ts3 = 
              Append[ts3, {x, -y}]; 
ts4 = 
              Append[ts4, {-x, -y}];
]; 
lines2 = 
            Append[lines2, {Line[ts1], Line[ts2], Line[ts3], 
                Line[ts4]}];
]; 
Show[
          Graphics[lines2], AspectRatio -> 1, 
          PlotRange -> {{-1, 1}, {-1, 
                1}}];

]

gra2 = cal2[]

Show[Graphics[{lines, lines2}], AspectRatio -> 1, 
        PlotRange -> {{-1.1, 1.1}, {-1.1, 1.1}}];

この図は教科書の図1.20に非常に似ているが、原点付近で大きく異なる。つまり、原点付近ではこの図では正の電荷から負の電荷への電気力線が上から下に直接短い距離で結ばれているところがある。しかし図1.20では電気双極子の大きさが無視できるためにそのような電気力線はない。これは(1.43)式がrにくらべてdが十分小さいという条件のもとの近似式になっているからである。