電気双極子

ここでは、電気双極子の電位や電界を可視化することを行ってみる。
実際には三次元であるが、ここではz軸を含む面内で切った二次元平面について考える。
Mathematicaを使って計算および表示を行っているので、Mathematicaが使えるようになったら、実際にプログラムを実行してみることをお勧めする。

基本的な関数の定義

\(r[x_, y_] := Sqrt[x^2 + y^2]; 
    th[x_, y_] := 
      Which[x > 0, 
        ArcTan[y/
            x], 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x < 0, 
        Pi + ArcTan[y/x], 
				x == 0, 0];\)

電位の等高線表示

gra1 = 
      ContourPlot[
        Cos[th[y, z]]/(z^2 + y^2), {z, -10, 10}, {y, -10, 10}, 
        PlotPoints -> 100]

上には正の電荷が下には負の電荷があるため、電位として上の図のような等高線が引かれる。電気双極子の電位の式(2.42) ϕ=(p cosθ)/(4πϵ0 r^2)からこの図を想像することができるだろうか。ここではp=1, 4πϵ0=1としている。

電位の濃淡図

DensityPlot[
      Cos[th[y, z]]/(z^2 + y^2), {z, -10, 10}, {y, -10, 
        10}]

電位の三次元表示

Plot3D[
      Cos[th[y, z]]/(z^2 + y^2), {z, -10, 10}, {y, -10, 
        10}]

三次元表示させてみると正電荷のところが山が高く、負電荷で谷になっていることがわかる。この勾配が電界ベクトルの場を描くことになる。

電界の表示

Needs["Graphics`PlotField`"]

gra2 = 
      PlotGradientField[-Cos[th[y, z]]/(z^2 + y^2), {z, -10, 
          10}, {y, -10, 10}, 
        ScaleFunction -> (0.5 &)]

電界は電位のgradient(勾配)により計算することができる。電界は正の電荷から始まり、負の電荷に吸い込まれる。

電位と電界の重ね合わせ

Show[gra1, gra2]

電界のベクトルと等電位面が垂直になっていることが分かる。