鏡像法その２

一つの点電荷qが(d,0,0)の位置にあり、原点に半径aの導体球がある。このときの電位、電界を鏡像法によって解くと、h=a^2/dの位置に-aq/d という大きさの鏡像電荷が存在しているのと同じになる。

そのときの電位は

\(TraditionalForm\`\(\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \)\(ϕ = q\/\(4 \( πϵ\_0\) \@\(\((x - d)\)\^2 + y\^2 + z\^2\)\) - 
          Q\/\(4 \( πϵ\_0\) \@\(\((x - h)\)\^2 + y\^2 + z\^2\)\)\)\)\)           (1)	
で与えられる。
これについて電位と電界を可視化してみよう。

定義

電位phiを定義しておく。

Clear[phi];
phi[x_, y_, z_] := 
        q/(4 Pi ep0 Sqrt[(x - d)^2 + y^2 + z^2])  + 
            Q/(4  Pi ep0  Sqrt[(x - h)^2 + y^2 + z^2])  /;  
          Sqrt[x^2 + y^2 + z^2] > a;
phi[x_, y_, z_] := 
        0 /;  Sqrt[x^2 + y^2 + z^2] <= a;
q = 1;  d = 3;  a =  .5;
Q = -a q/d;  h = a^2/d;
ep0 = 1;

電位の表示

graph1 = 
      ContourPlot[phi[x, y, 0], {x, -2, 4}, {y, -3, 3}, 
        ContourShading -> False, PlotPoints -> 100]

ContourPlot[phi[x, y, 0], {x, -2, 4}, {y, -3, 3}, 
      PlotPoints -> 100]

Plot3D[phi[x, y, 0], {x, -2, 4}, {y, -3, 3}]

電位は電荷がある(d,0,0)のところで高くなっており金属表面では一定値になっていることが分かる。

電界の表示

Needs["Graphics`PlotField`"]

電位の等高線図と重ねて表示する.ここではPlotGradientFiledを使って直接ベクトル表示させている。ここでも電界ベクトルの向きは必ず等電位面と垂直になっていることが分かる。導体の周りでは電位の勾配が小さいために矢印がきちんとでていないのが残念。

graph2 = 
      PlotGradientField[-phi[x, y, 0], {x, -2, 4}, {y, -3, 3}, 
        ScaleFunction -> (0.5 &)]

Show[graph2, graph1]