一様電界中の誘電体

電界中の誘電体の様子は、導体のときと同じように等価的に一様な電界と電気双極子による電界の足し合わせと考えることができる。その電位は誘電体外側で、
　　　ϕ(r, θ) = -E0 r cosθ +E0 (ϵ-(Subscript[ϵ, 0]))/(ϵ + 
            2  (Subscript[ϵ, 0])) (a^3)/(r^2) cos θ
で与えられる。（教科書　p.67 例題5.4)これも同様に可視化してみよう。

定義

Clear[phi];
a = 1;  E0 = 1;
ep0 = 1; 
    ep = 3;   
phi[r_, th_] := 
        If[r > a, -E0 r Cos[th] + 
            E0 a^3/r^2  (ep - ep0)/(ep + 2  ep0) Cos[
                th] ,  -3 
            ep0/(ep + 2  ep0) E0 r Cos[th]];

円柱座標系から直交座標系に変換するための定義

r[x_, y_] := Sqrt[x^2 + y^2];
\(\(th[x_, y_] := 
        Which[x > 0, 
          ArcTan[y/
              x], 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x < 0, 
          Pi + ArcTan[y/x], 
				x == 0, 
          0];\)\)

電位の表示

電位はポテンシャルなので高さを使って表現してみよう。

Plot3D[
      phi[r[x, y], th[x, y]], {x, -3, 3}, {y, -3, 3}]

次に等高線表示をしてみる。

ContourPlot[phi[r[x, y], th[x, y]], {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, 
      PlotPoints -> 100]

この図を下の導体のときと比較すると分かるように、誘電体中には等電位面があり、その傾きで与えられる電界が存在する。一方導体は導体全体が等電位面であり、電界は入らない。

電界の表示

電界は電位の勾配(grad)をとればよい。
Er=-∂ (ϕ/∂)r,
Eθ=-(1/r)∂ (ϕ/∂)θ

Clear[Er, Eth]; 
    Er[r_, th_] := 
      If[r > a,  (1 + (ep - ep0)/(ep + 2  ep0) 2 
                 a^3/r^3) E0 Cos[th],  
        3  ep0/(ep + 2  ep0) E0 Cos[th]];
Eth[r_, th_] := 
        If[r > a, -(1 - (ep - ep0)/(ep + 2  ep0) 2  a^3/r^3) 
            E0 Sin[th],  -3 
            ep0/(ep + 2  ep0) E0 Sin[th]];

次にそれを直交座標系に変換する。式は次のとおり
Ex = Er cosθ - Eθ sinθ
Ey= Er sinθ + Eθ cosθ

Ex[x_, y_] := 
        Er[r[x, y], th[x, y]] Cos[th[x, y]] - 
          Eth[r[x, y], th[x, y]] Sin[th[x, y]];
Ey[x_, y_] := 
        Er[r[x, y], th[x, y]] Sin[th[x, y]] + 
          Eth[r[x, y], th[x, y]] Cos[th[x, y]];

これをベクトル表示させる。

Needs["Graphics`PlotField`"];

gra1 = 
      PlotVectorField[{Ex[x, y], Ey[x, y]}, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, 
        ScaleFunction -> (0.5 &)]

中心に円を描いて重ね合わせてみる。

Show[Graphics[Circle[{0, 0}, 1]], gra1, 
      AspectRatio -> 1]

誘電体内部では均一な電界が存在することが分かる。