一様電界中の導体

電界中の導体の様子は、等価的に一様な電界と電気双極子による電界の足し合わせと考えることができる。その電位は
　　　ϕ(r, θ) = -E0 r cosθ +E0 (a^3)/(r^2) cos θ
で与えられる。（教科書　p.53 例題4.3)これを可視化してみよう。

定義

Clear[phi];
a = 1;  E0 = 1;
phi[r_, th_] := -E0 r Cos[th] + E0 a^3/r^2 Cos[th]  /;  
          r > a;
phi[r_, th_] := 0 /;  r ≤ a;

円柱座標系から直交座標系に変換するための定義

r[x_, y_] := Sqrt[x^2 + y^2];
\(\(th[x_, y_] := 
        Which[x > 0, 
          ArcTan[y/
              x], 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x < 0, 
          Pi + ArcTan[y/x], 
				x == 0, 
          0];\)\)

電位の表示

電位はポテンシャルなので高さを使って表現してみよう。

Plot3D[
      phi[r[x, y], th[x, y]], {x, -3, 3}, {y, -3, 3}]

次に等高線表示をしてみる。

ContourPlot[phi[r[x, y], th[x, y]], {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, 
      PlotPoints -> 100]

ちなみに一様電界E0というのは極座標では第一項のϕ=-E0 r cosθで与えられる。このときの電位の様子を可視化してみよう。

Plot3D[-E0 r[x, y] Cos[th[x, y]], {x, -3, 3}, {y, -3, 
        3}]

ContourPlot[-E0 r[x, y] Cos[th[x, y]], {x, -3, 3}, {y, -3, 
        3}, PlotPoints -> 100]

ϕ=-E0 r cosθを可視化すると上のようになるということが、想像できるだろうか。きちんと一様な電界を作るポテンシャルになっていることが分かる。
このような一様磁界に電気双極子による電位が重畳されている。

さらに電気双極子の電位のみ表示させておこう。これと上の一様電界の合成が一番最初の図になる。

Plot3D[
      E0 a^3/r[x, y]^2 Cos[th[x, y]], {x, -3, 3}, {y, -3, 
        3}]

ContourPlot[
      E0 a^3/r[x, y]^2 Cos[th[x, y]], {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, 
      PlotPoints -> 100]

電界の表示

電界は電位の勾配(grad)をとればよい。
Er=-∂ (ϕ/∂)r,
Eθ=-(1/r)∂ (ϕ/∂)θ

Clear[Er, Eth]; 
    Er[r_, th_] := 
      E0 (1 + 2  a^3/r^3) Cos[th]  /; r > a;
Eth[r_, th_] := -E0 (1 - a^3/r^3) Sin[th]  /;  
          r > a;
Er[r_, th_] := 
        0  /;  r ≤ a;
Eth[r_, th_] := 0 /;  r ≤ a;

次にそれを直交座標系に変換する。式は次のとおり
Ex = Er cosθ - Eθ sinθ
Ey= Er sinθ + Eθ cosθ

Ex[x_, y_] := 
        Er[r[x, y], th[x, y]] Cos[th[x, y]] - 
          Eth[r[x, y], th[x, y]] Sin[th[x, y]];
Ey[x_, y_] := 
        Er[r[x, y], th[x, y]] Sin[th[x, y]] + 
          Eth[r[x, y], th[x, y]] Cos[th[x, y]];

これをベクトル表示させる。

Needs["Graphics`PlotField`"];

gra1 = 
      PlotVectorField[{Ex[x, y], Ey[x, y]}, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, 
        ScaleFunction -> (0.5 &)]

中心に円を描いて重ね合わせてみる。

Show[Graphics[Circle[{0, 0}, 1]], gra1, 
      AspectRatio -> 1]

導体表面に垂直に電界ベクトルが突き刺さっていることが分かる。